利用代数方程解几何证明题 如图一，I是△ABC的内心，ID⊥BC于D，且AB·AC=2BD·DC，求证BA⊥CA 如图二，作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，根据内心性质有BD=BE，AE=AF，CD=CF，设BD=x，AE=z，CD=y，角A、B、C所对边为a、b、c。 则有x+y=a，y+z=b，z+x=c，令p=(a+b+c)/2，解方程得：x=p-b，y=p-c，z=p-a。 将结果代入AB·AC=2BD·DC可得：bc=2(p-b)(p-c)，化简得：2p²-2(b+c)p+bc=0。由于p＞0，由求根公式可得p=(b+c)/2+√(b²+c²)/2=(a+b+c)/2，所以a²=b²+c²，所以且∠BAC=90°，即BA⊥CA。
