两种新无限挑战数学宇宙定义数学宇宙是否有序关于「无限」的讨论，为数学宇宙引入了混

两种新无限挑战数学宇宙定义数学宇宙是否有序

关于「无限」的讨论，为数学宇宙引入了混乱。

你可能以为“无限”就是“无穷大”或“无穷小”，但在数学家们看来，无限其实分很多种，比如整数无限和实数无限。

19世纪，德国数学家Georg Cantor尝试构建出了更大的无限，并用“基数”（cardinal numbers）来衡量这些不同大小的无限集合。

通常来说，大基数能够形成一座整齐的层级塔。数学家Woodin认为，可以构建一个包含所有大基数的终极模型，叫做“终极L”。

不过，成功构建“终极L”的前提是：数学宇宙（也就是V）是结构良好的，也就是大基数必须是“遗传序数可定义的”（hereditarily ordinal definable，HOD）。

Juan Aguilera和他的团队发现的两种新无限：精确基数（exacting cardinals）和超精确基数（ultraexacting cardinals），极有可能推翻这个前提。

定义这两种基数其实很简单：它们本质上就是其他大基数的“放大版”。但它们却表现出非常奇怪的特性。

乍看它们能完美融入现有的“无限之塔”——无论从规模还是复杂度来看，位置都很明确。然而当研究团队尝试将它们与较小基数结合时，怪事发生了。

通常情况下，将相互兼容的大基数相加，结果并不会突破原有的层级。比如，在“一百万”后面加上“一百”，总的量级仍然是“百万”级别。

但这次不同，当较小的基数遇到这些新无限时，团队成员Joan Bagaria形容道：“它们直接爆炸了，这是前所未见的现象。”

Bagaria表示：“我们发现了一个新的区域，在那里，数学宇宙变得如此狂野、如此复杂，以至于它不再符合HOD的定义。”

此前，集合论学者们也曾发现过一些似乎脱离HOD的非常大的基数，但为了定义这些基数，需要放弃ZFC集合论中的九条基本公理之一——选择公理。

对许多数学家来说，抛弃一条基本公理并不是一个吸引人的方法。

而精确基数和超精确基数的关键之处在于：它们不违反选择公理。

这意味着可能存在一种远超我们想象的“超级基数”，它的规模甚至突破了数学家们对ZFC体系兼容性的认知极限。

用Aguilera的话来说，数学宇宙可能也充满了我们看不见的“暗物质”。

在最新论文中，三人已初步证明新基数与现有体系的一致性：这些基数不仅结构与其他大基数相似，更重要的是，若能证实某类传统无限与ZFC兼容，那么超精确基数理应也能兼容。

混乱or有序？关于数学宇宙，还有许多东西等着我们探索。