有人“瞪眼”秒出答案，有人花了10多分钟才完成解答！这是一道某省中考数学真题：求解二元指数方程组（本质上是二元二次方程组）！如图，已知6ᵃ+6ᵇ=42且a+b=3，求a和b的值。





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提示一：一元二次方程+分解因式！
6ᵃ(6ᵃ+6ᵇ)=42×6ᵃ⇔6²ᵃ+6ᵃ⁺ᵇ=42×6ᵃ
⇔6²ᵃ-42×6ᵃ+36×6=0⇔(6ᵃ-36)(6ᵃ-6)=0
⇔a=2或1，从而b=1或2。
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提示二：“瞪眼法”——观察+试解！
①6ᵃ+6ᵇ=42=6×7⇔6ᵃ⁻¹+6ᵇ⁻¹=7=6+1=6+6⁰。
②a-1=1且b-1=0或a-1=0且b-1=1，即a=2且b=1或a=1且b=2。
③验证a+b=3，故a=2且b=1或a=1且b=2为方程组6ᵃ+6ᵇ=42且a+b=3的解。
④方程组6ᵃ+6ᵇ=42且a+b=3，本质为一元二次方程，故其至多有两个实根，故方程有且仅有两个解a=2且b=1或a=1且b=2。

注：①作为解答题，提示二必须验证a=2且b=1或a=1且b=2为方程组的解。其次，还必须说明方程组没有其他的解。否则求解不完整，必然扣分！②此方法适用于填空题或选择题。

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提示三：代入法（本质上与提示一等价）
①将b=3-a代入6ᵃ+6ᵇ=42即得
6ᵃ+6³⁻ᵃ=42。
②方程6ᵃ+6³⁻ᵃ=42两边同乘6ᵃ即得6²ᵃ-42×6ᵃ+36×6=0，余下同于提示一。
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