今天要来点数学吗？ 数理逻辑

先澄清一个东西，前两天一些数学社区里看到的讲解哥德尔不完备定理的图，以及宣称453600 是自指陈述的编码（哥德尔数），是错的。

非常错~~各种错。

就说最显著的一点

哥德尔数 = 给每个符号、公式、证明分配一个唯一的自然数编码。

例如：

“∧” 编码成 5

“∨” 编码成 7

“→” 编码成 11

“(” 编码成 13

“)” 编码成 17

“x” 编码成 19

“=” 编码成 23

“0” 编码成 29

“S” 编码成 31

…

然后把一个公式的符号序列编码成一个自然数，例如用质数幂：

Godel(𝑠1𝑠2⋯𝑠𝑛)=2^𝑔(𝑠1)*3^𝑔(𝑠2)*5^𝑔(𝑠3)⋯𝑝𝑛^𝑔(𝑠𝑛)，其中 𝑔(𝑠𝑖) 是符号的编码，𝑝𝑛 是第𝑛个质数。

这样得到的自然数是唯一的、可逆的（能解码回原公式）。

因为这样一来“公式”变成整数,“证明”变成整数,“可证明性”变成整数的性质,“自指”变成整数之间的关系。

因此，在这种通常的 Gödel 编码里，如果每个符号对应正整数编号，那么 453600 至多编码一个含 4 个符号的序列，绝不可能直接编码一个包含大量符号的完整哥德尔句。

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哥德尔不仅证明了不完备定理，还写过一个“上帝存在”的形式逻辑证明，但从未发表。

哥德尔在 1970 年左右把这个证明展示给逻辑学家 Dana Scott。

Scott 后来整理并传播了这个证明。见图二

你能看出问题出在哪里吗？

如果用自然语言来说，“善”显然是存在的。

哥德尔认为，所有善的集合，一切的善也就是至善，如果至善有可能存在（在逻辑上无矛盾），根据至善的“定义”，那就必然存在（因为存在也是一种“善”）。那这个至善的概念就是通俗所说的上帝。

所以还是一个本体论证明